P1040 加分二叉树 题解

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题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第ii个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree*本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第1行：1个整数n(n<30)，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数<100）。

输出格式

第1行：1个整数，为最高加分（$ans \leq 4,000,000,000$）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

思路

区间dp，要求前序遍历得首先把一个区间的根给他找出来……转移的同时记录一个区间的根，根据中序遍历的性质，那么对于任意一个区间$[l,r]$，其根为$root$，那么$[l,root-1]$为左子树，$[root+1,r]$为右子树，那么dp方程和遍历顺序都得到了确定：设$dp_{l,r}$为区间$[l,r]$构成树的最大加分，那么$dp_{l,r}=max(dp_{l,root-1}+dp_{root+1,r})$，其中root为枚举的根，跟着一起转移就好了。

最后递归输出就好。

代码

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#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <climits>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,root[30][30],dp[30][30];
inline void solve(int l,int r){
	if(l>r)	return;
	printf("%d ",root[l][r]);
	if(l==r)	return;
	solve(l,root[l][r]-1);
	solve(root[l][r]+1,r);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(register int i=1;i<=n;i++)	scanf("%d",&dp[i][i]),root[i][i]=i;
	for(register int siz=2;siz<=n;siz++){
		for(register int l=1;l+siz-1<=n;l++){
			int r=l+siz-1;
			dp[l][r]=dp[l+1][r]+dp[l][l],root[l][r]=l;//根为l 
			for(register int k=l+1;k<=r;k++){
				if(dp[l][r]<dp[l][k-1]*dp[k+1][r]+dp[k][k]){
					dp[l][r]=dp[l][k-1]*dp[k+1][r]+dp[k][k],root[l][r]=k;
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n",dp[1][n]);
	solve(1,n);
	return 0;
}
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